每年數學DSE中一定會有題目是關於「排列與組合」，當中涉及nCr、nPr等概念，今次Uni+ 將為大家講解當中的概念、公式等，助你輕鬆應對相關題目！

排列與組合概念：乘法原則

乘法原則是用來計算多個獨立事件的總可能性數目。如果事件A 可以發生 n 次，而事件B 可以發生 m 次，則事件A及事件B 同時發生的總可次數為n x m 次。

例如：一個密碼由 2 個字母（a - z 26個字母）和 3 個數字（0-9）組成，總可能性為 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 1,757,600種。

排列與組合概念：加法原則

加法原則是用來計算多個互斥事件（即事件之間沒有重疊）的總可能性數，即它們各自數量的總和。

假設有 n 個互斥事件，第 i 個事件有 ki 種可能結果，則總結果數為：

K1+k2+....+ki

例如：你有 3 件衣服和 2 條褲子，現在要選擇一件衣服或一條褲子。

衣服的選擇數：3
褲子的選擇數：2
總選擇數：3+2=5 種。

個密碼可以由 2 個字母或 3 個數字組成，字母範圍為 A-Z（a - z 26個字母），數字範圍為 0-9。

2 個字母的可能性：26×26 = 676

3 個數字的可能性 : 10 x 10 x 10 = 1000種

總可能性： 676 + 1000 = 1676種

小貼士

加法原則：計算“或”的情況，換言之代表分 Case，例如“選衣服或選褲子”。

乘法原則：計算“和”的情況，換言之代表進行連串的選擇，例如“選一件衣服同時選一條褲子”

階乘 Factorial

階乘（Factorial）在排列與組合中是一個非常重要的概念，通常用符號「n!」表示，而n 是一個非負整數，表示從 1 到某個正整數 n 的所有正整數的乘積，例如5! 就是 5 的階乘。

階乘公式

n!=n×(n−1)×(n−2)×…×2×1

例子

5!=5×4×3×2×1=120
6!=6×5×4×3×2×1=720
1!=1
0!=1

排列（Permutation）

排列是指從一組物件中（n）選取若干個物件（r），並按照一定順序來排列，每一個不同的排列順序，都會被視為不同的結果。如果有n個物件，當中有r 個物件要按一定順序排列，每個排列的數量則可用 nPr來表達。

公式

n：代表總共有多少個物件可供選擇
r：要選取並排列的物件數量，且 r ≤ n
n!（n 的階乘）：表示 n×(n−1)×⋯×1
(n−r)! ：表示未被選取的剩餘物件數量的階乘。
分母 (n−r)! 是將不需要排列的部分排除在外。

例子

假設有 4 個字母 A、B、C、D，你要從中選取 2 個進行排列，排列的組合一共有12個：AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC，而計算方法則為 :

n=4 , r =2 , 所以是 4P2 ＝12。

組合 Combination

組合（Combination）指從一組物件（n）中選取若干個物件（r），但不考慮物件的排列，即使是不同排列，仍會被當作同一組合，我們可用nCr 來表達組合數量。

公式

n：代表總共有多少個物件可供選擇。
r ：要選取的物件數量，且 r ≤ n
n!（n 的階乘）：表示 n×(n−1)×⋯×1
r!：表示選取的 r 物件的全排列數，用來消除物件順序的影響。
(n−r)!：表示未選取的剩餘物件數量的階乘。

例子

假設有 4 個字母 A、B、C、D，從中選取 2 個進行組合，組合一共有6個：AB, AC, AD, BC, BD, CD（AB 和 BA 視為相同），而計算方法則為 :

n=4 , r =2 , 所以是 4C2 ＝6。

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