秒懂聯立方程式(Simultaneous Equations)| 附必入聯立方程program!
聯立方程（Simultaneous Equations）是數學DSE必修課題，除了要將二元一次方程聯立得出兩個項數解，部分進階題目更要求同學更將概念應用到三元一次方程，再得出三個項數解，今次 UNI+為大家整合出最詳細的聯立方程投巧，幫你輕鬆奪星！
二元一次聯立方程式（Simultaneous Linear Equations）
「二元一次聯立方程式」是指有兩個未知數（例如：𝑥和𝑦），而且每條方程式都是一次方程（次方不大於1），我們要將兩條方程並列並找出兩個未知數的解，而數學上會用「 { 」來表示二元一次聯立方程式，以下是題目例子：
解二元一次聯立方程式（Simultaneous Linear Equations Solver）
代入消去法
「代入消去法」，是將其中一條方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示，再代入另一個方程，這樣就剩下一個未知數，就可以求得這個二元一次方程組的解，以下是常見例子：
解下列二元一次聯立方程式：
3x + 2y = 12
x − y = 1
解 ：
3x + 2y = 12 …………(1)
x − y = 1 …………(2)
由(2)可得 x ＝1 + y 將其代入(1)，我們可得：
3(1 + y )＋2 y ＝12
3 + 3 y ＋2 y ＝12
5 y ＝12 - 3
y = 1.8
將 y ＝1.8 代入(2)，我們可得： x - (1.8) = 1
x ＝2.8
故 x ＝2.8 ， y ＝1.8 為二元聯立方程組的解。
加減消去法
加減消去法是透過加法、減法、乘除法，令兩條方程式其中一個未知數的係數相同，然後把其中一個未知數「消去」，再求出另一個未知數，以下是是常見例子：
解下列各二元一次聯立方程式：
2x + y = 10
6x - y = 6
解 ：
2x + y = 10 …………(1)
6x - y = 6 …………(2)
將 (1) 和 (2) 相加，可得：
(2x + y) + (6x − y) = 10 + 6
8x = 16
x = 2
再將 x = 2 代入 (1) ，可得：
2 (2) + y = 10
y = 6
故 x ＝ 2， y ＝ 6 為二元聯立方程組的解。
代入消去法和加減消去法哪個解法比較好?
觀察題型的時候，如果可以很明顯的觀察到 x = ? 或者 y = ? 時，那就可以使用代入消去法來解決這個題型；而如果兩個方程式的未知數的係數，是相同數字或相反數，這個時候使用加減消去法會比較好。
| 代入消去法 | 加減消去法 |
|---|---|
|
✅ 可以清楚地知道 x = ？ 或 y = ？ ✅ 未知數的係數為 1 時，較推薦使用 |
✅ 兩個方程式的係數，是相同數字或相反數 ✅ 係數不為 1，且數字不大 |
三元一次方程（linear equation with three unknowns）
圓方程三點求圓（Equation of Circle from 3 Points）
圓形方程的基本式為x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，然而如果要透過三點計算圓方程，就需要用到標準式：(x - a)2 + ( y - b )2 = r2
當中 x 同 y 為圓心嘅 x 座標 及 y 座標，a 同 b 為圓線上任意一點的 x 座標 及 y 座標，r 就是圓線上任意一點與圓心之間的距離，亦即半徑。
【例子】：
圓經過三點 (2,0)，(0,1) 及 (0,4)，求圓心, 半徑及圓的方程。
解 :
要解這個問題，我們可以使用圓的標準方程式 (x-a)2 + (y-b)2 = r2，其中 (x,y) 是圓心的坐標，(r) 是半徑。我們將這三個點分別代入方程式，然後解聯立方程組來找到 (x)、(y) 和 (r)。
給定的點是 (2,0)，(0,1)，和 (0,4)。代入這些點，我們得到三個方程：
1. 將 (2,0) 代入方程式得到 (x-2)2 + (y-0)2 = r2
2. 將 (0,1) 代入方程式得到 (x-0)2 + (y-1)2 = r2
3. 將 (0,4) 代入方程式得到 (x-0)2 + (y-4)2 = r2
接下來，我們將這三個方程簡化並解聯立方程組。
1. (x-2)2 + (y-0)2 = r2 變為 x2 + 4 - 4x + y2 = r2
2. (x-0)2 + (y-1)2 = r2 變為 x2 + 1 - 2y + y2 = r2
3. (x-0)2 + (y-4)2 = r2 變為 x2 + 16 - 8y + y2 = r2
現在我們解這個方程組找到 (x)、(y) 和 (r)。
首先，我們可以用 Equation 2 減去 Equation 1，消去 r2：
(x2 + 1 - 2y + y2) - (x2 + 4 - 4x + y2) = 0
簡化為： 4a - 2b = 3…………(4)
接下來，我們可以用 Equation 3 減去 Equation 2，同樣消去 r2：
(x2 + 16 - 8y + y2) - (x2 + 1 - 2y + y2) = 0
簡化為： 6b = 15…………(5)
解這個聯立方程組，得到 (x = 2) 和 (y = 2.5)。
最後，將 (x) 和 (y) 的值代入其中一個方程，例如 Equation 1：
22 + 4 - 4(2) + (2.5)2 = r2
得到 (r2 = 6.25)，解得 (r = 2.5)。
因此，圓心是 (2, 2.5)，半徑是 (2.5)，圓的方程是 (x-2)2 + (y-2.5)2 = 6.25。
*注：一般式為 x2 − 4x + y2 − 5y + 4 = 0
聯立方程 program（(二元一次方程）
步驟1. 先在 Mode 選擇中選擇 Mode 1
步驟2. 輸入相應數字到計數機中：
?→A:?→B:?→C:?→D:?→X:?→Y:(YB—CX)÷(DB—AX→X」B-1(C—AAns→Y
例子
{ 2x + y = 10
{ 6x - y = 6
計數機輸入：2,1,10,6,-1,6
答案: x=2, y=6
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